刷题记录1

题目

【例 8】(2014, 数一) 设 L 是柱面 x²+y²=1 与平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 \oint_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z=_.

解法

方法 3：将空间线积分化为平面线积分用格林公式

由 y+z=0 得 z=-y，代入积分 \oint_{L} zdx+ydz 得

$\oint_{L} zdx+ydz=\oint_{C} (-ydx-ydy) \quad (\text{其中 } C \text{ 为单位圆 } x²+y²=1 \text{ 沿逆时针方向})$

$=\iint_{x²+y²\leqslant1} dxdy=\pi. \quad (\text{格林公式})$”